Wintersemester 2017/2018

Einführung in die Numerik partieller Differentialgleichungen

Theorie und Numerik elliptischer und parabolischer partieller Differentialgleichungen.

Dozent
Prof. Dr. Dominik Göddeke

Assistenz
M. Sc. Maria Wiebe

Beginn
Montag, den 16.10.2017 

Zeit/Ort
Mo. 11:30-13:00 PWR 57-7.122
Mi. 9:45-11:15 PWR 57-7.122

Übungen
Mi. 11:30-13:00 PWR 57-7.331

Ilias-Link
https://ilias3.uni-stuttgart.de/goto_Uni_Stuttgart_crs_1313751.html

Inhalt 
Ein besserer Titel dieser Vorlesung lautet vermutlich: Theorie und Numerik elliptischer und parabolischer partieller Differentialgleichungen (PDEs).

Viele Phänomene in den Natur-, Ingenieurs- und Lebenswissenschaften werden durch PDE-Modelle beschrieben. In dieser Vorlesung konzentrieren wir uns im Gegensatz zur Bachelor-Veranstaltung PDEMAS auf wichtige Modellprobleme, die jeweils den mathematischen Kern der Phänomene repräsentieren. Wir betrachten exklusiv den sogenannten schwachen Lösungsbegriff und die zugehörige Numerik, die im Gegensatz zum klassischen Lösungsbegriff geringere Regularitätsanforderungen beinhalten und deshalb m.E. auch unstetige Lösungen erlauben bzw. approximieren.

Die Veranstaltung ist so konzipiert, dass der Numerik-Bachelorzyklus jenseits der Numerik 1 nicht vorausgesetzt wird. Insbesondere besteht nur ca. 15% Überlappung zur PDEMAS, und ca. 10% zur Funktionalanalysis, da die Stabilitätstheorie deutlich allgemeiner als über die Koerzivität entwickelt wird. Explizites Ziel der Vorlesung ist die Gleichbehandlung von Diskretisierungs- und Lösungsaspekten bei der numerischen Approximation.

Konkret behandeln wir die folgenden Themen: Sobolev-Räume und weitere funktionalanalytische Grundlagen, inf-sup als maximal allgemeines Stabilitätskonzept, Wohlgestelltheit elliptischer Modellprobleme, konforme Galerkin- und Petrov-Galerkin Finite Elemente Verfahren, a posteriori Fehlerschätzer und adaptive Finite Elemente, Praxisaspekte bei der FEM; Mehrgitterverfahren als einzige asymptotisch optimale Löser für diskrete elliptische Probleme (O(1) Operationen pro Freiheitsgrad!); Lösungstheorie parabolischer Probleme, Orts-Zeit-FEM, Linien- und Rothe-Methode. Im unwahrscheinlichen Fall akuten Zeitüberschusses werden Orts-Zeit Bochner-Normen sowie Sattelpunktprobleme diskutiert.

Die Veranstaltung wird im Sommersemester fortgesetzt mit der Behandlung von Fragestellungen aus der numerischen Strömungssimulation und von hyperbolischen Problemen.

Literatur
Wird in der Vorlesung bekannt gegeben.

Curricula
M. Sc. Mathematik und SimTech, weitere Studiengänge möglich, hervorragend geeignet als vorgezogenes Mastermodul bei geplanter Vertiefung in die Numerik

Voraussetzungen
Lebesgue-Integralbegriff (bspw. aus Analysis oder WT), Numerik 1 (Quadraturen, Interpolation). PDEMAS, Numerik 2 und/oder Funktionalanalysis sind hilfreich aber nicht notwendig. Näheres in der ersten Vorlesung

Leistungspunkte
9 LP (4V+2Ü)

Prüfung
Prüfungsvorleistung: theoretische und praktische Übungen; mündliche Prüfung (30 Min.)

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