Dieses Seminar beschäftigt sich mit der Lösung großer linearer Gleichungssystem, wie sie beispielsweise bei der Diskretisierung von PDGLs auftreten. Diese LGS sind oft nicht symmetrisch positiv definit und schlecht konditioniert, weswegen klassische direkte und iterative Verfahren zu teuer und zu langsam sind. Ziel des Seminars ist es, verschiedene Krylov-Unterraum-Verfahren, das Konzept der Vorkonditionierung, sowie eine spezielle Klasse an Matrizen, die Sattelpunktmatrizen, kennenzulernen.
Univ.-Prof. Dr. Christian Rohde
Dr.-Ing. Jens Keim
Type:
Lecture
Semester hours:
4
Teaching Language:
German
Semester:
SS 26
Organisation:
Aerodynamik und Gasdynamik
Content:
Basis der Vorlesung sind die Euler- und Navier-Stokes Gleichungen als Grundmodelle der kompressiblen Strömungsmechanik. Diese werden zunächst hergeleitet und im zweiten Teil dann analytisch betrachtet: Für die Euler Gleichungen können Lösungen mit unstetigen Schockwellen auftreten, die Bernhard Riemann in der Mitte des 19 Jahrhunderts als erster mathematisch behandelt hat. Das Auftreten von Schockwellen geht einher mit der nicht-eindeutigen Lösbarkeit der Euler-Gleichungen. Über hundert Jahre hat man vermutet, dass die physikalische Entropiebedingung ausreicht um die Eindeutigkeit wiederherzustellen. In den letzten Jahren ist dies aber wieder aus der Mathematik heraus aber widerlegt worden. Im zweiten Teil der Vorlesung werden dann numerische Diskretisierungsverfahren diskutiert. Wir konzentrieren uns dabei auf Verfahren vom Typ der Finite-Volumen und Discontinuous-Galerkin Verfahren. Den Abschluss bildet dann die Behandlung spezieller Strömungsregime wie etwas dem Regime kleiner Machzahlen beim Übergang in den inkompressiblen Bereich
Die mathematische Modellierung beschäftigt sich einserseits damit Gegenstände der Anwendungswissenschaften in wohldefinierte mathematische Probleme zu überführen. Das hergeleitete Modell soll dann im zweiten Schritt in eine Form gebracht werden, so dass es explizit oder mit Methoden (zum Beispiel der Numerik) approximativ gelöst werden kann. In der Vorlesung werden zunächst die wesentlichen Ansätze zur Herleitung mathematischer Modelle vorgestellt: deterministisch oder stochastisch, diskret oder kontinuierlich, First-Principle-orientiert oder datenbasiert. Darauf aufbauend werden typische Techniken diskutiert, mit denen die hergeleiteten Modelle mathematisch geeignet umgeformt oder vereinfacht werden können. Dazu gehören die Dimensionsanalyse, asymptotische Analysis und Homogenisierungsmethoden.
Die mathematische Modellierung ist kein in sich abgschlossenes Theoriegebäude wie andere Bereiche der Mathematik. Daher beruht die Darstellung all dieser Methoden auf einer Vielzahl von Beispielen und Anwendungsszenarien.
- Introduction to different types of differential equations (ordinary differential equations, partial differential equations) - Introduction to the concept of existence of (unique) solutions - Numerical method for the approximation of solutions of differential equations - Element of the theoretical analysis of numerical schemes - Implementation of numerical schemes within MATLAB
Dieses Seminar beschäftigt sich mit der Lösung großer linearer Gleichungssystem, wie sie beispielsweise bei der Diskretisierung von PDGLs auftreten. Diese LGS sind oft nicht symmetrisch positiv definit und schlecht konditioniert, weswegen klassische direkte und iterative Verfahren zu teuer und zu langsam sind. Ziel des Seminars ist es, verschiedene Krylov-Unterraum-Verfahren, das Konzept der Vorkonditionierung, sowie eine spezielle Klasse an Matrizen, die Sattelpunktmatrizen, kennenzulernen.
- Introduction to different types of differential equations (ordinary differential equations, partial differential equations) - Introduction to the concept of existence of (unique) solutions - Numerical method for the approximation of solutions of differential equations - Element of the theoretical analysis of numerical schemes - Implementation of numerical schemes within MATLAB
